La droite projective utilisée ci-dessus est une courbe fermée. Mais elle se ferme en passant par l'infini. Le point de fuite de mon regard devant moi est le même que celui qui est derrière moi à l'infini. Ce plan projectif ne sait pas se générer dans l'espace euclidien à trois dimensions, il a besoin de la droite projective.
Maintenant y-a-t-il une façon de générer un plan projectif dans l'espace euclidien, en n'utilisant que des objets géométriques euclidiens et en évitant un passage par la limite infinie?
Pour expliciter ce type de génération, je commence par utiliser un
cercle dans un espace euclidien de dimension 3, dans
.
c'est un cercle au sens topologique du terme, c'est une ligne fermée
de dimension 1, déformable et élastique.
Cette ligne fermée va se déplacer dans l'espace. Au moment où le déplacement et la déformation se produisent, j'ouvre l'obturateur d'un appareil photographique, et je le ferme à la fin du mouvement. Sur la photo développée, je verrai la projection en deux dimensions de l'ensemble des positions que la ligne a occupées dans l'espace.
Si cette ligne est un cerceau, et que je le tourne sur lui-même de 180 degrés, je génère ainsi une sphère. Elle existe dans l'espace euclidien et se projettera comme tel sur la plaque photographique. La figure 10 montre ce qui sera enregistré sur la photo.
En laissant ouvert l'obturateur de l'appareil photo, j'ai créé une
quatrième dimension, le temps. Cette sphère est généré dans un
espace-temps de dimension 4,
.
Qu'ai-je pu fabriquer jusqu'à maintenant?
Si le chemin que je parcours avec le cercle est plus complexe ou quelconque, la surface générée se recoupera dans l'espace. On dit alors que cette surface présente des lignes d'immersion dans l'espace 3. Ces lignes n'existent pas dans l'espace-temps utilisé. Si le cercle se recoupe, ce n'est pas dans le même temps. Ces lignes n'existent pas dans la dimension 4.
