Complétion du plan euclidien

On peut le construire en complétant le plan euclidien. Pour cela on trace dans la figure ici sur le plan (affine) quelques droites parallèles, et on leur ajoute un point à l'infini dans la direction où elles ont l'air de se rejoindre. En fait on ajoute deux points diamétralement opposés. Mais on considère que ces deux points n'en font qu'un, comme s'ils avaient fait le tour d'une sphère. En effet, si je suis sur des rails parallèles, ils ont l'air de se rejoindre aussi bien devant moi que derrière moi.

Ce point vient ainsi compléter toutes les droites ayant une certaine direction. On dit que ce point est un point projectif. Toutes les droites de cette direction se projettent vers ce point. C'est un point de fuite. Celui-ci permet de dessiner des voies de chemin de fer sur un papier à dessin.

A chaque direction correspond un point projectif particulier. Je peux joindre tous les points projectifs du plan par une ligne. A première vue, cette ligne est un cercle à l'infini qui entoure le plan.

Par sa caractéristique de bordure cette ligne complète le plan en lui ajoutant une ligne de plus. Elle porte le nom de droite projective.

J'ai indiqué plus haut que chaque paire de points appartenant à la même direction ne faisaient qu'un. Cette droite projective se replie puisque chaque point est, pour ainsi dire `double'. Ainsi quand je parcours cette ligne à partir du point $1$ de la figure ici, en $2$ je suis également en $2'$, en $3$ je suis en $3'$, et en $4$ en $4'$².

Figure: Les diamètres

Déjà, on sent bien qu'il n'est plus possible de concevoir cet objet dans l'espace à trois dimensions usuel. Cependant on peut noter qu'une `droite courbe' joignant des droites parallèles qui se rejoignent à l'infini, ce n'est pas très facile à dessiner non plus.

Ce plan complété par la droite projective est appelé plan projectif.

Voyons tout de suite la propriété caractéristique de ce plan. Dans la figure ici l'existence des points doubles fait qu'on peut passer indifféremment de chaque valeur $1, 2, 3, 4$ à $1', 2', 3', 4'$. Par exemple prolongeons le segment $2-3$ par une bande qui rejoint le segment $2'-3'$ en respectant la connexion $2$ avec $2'$ et $3$ avec $3'$. On trace un F en $2-3$ et on le fait glisser le long de la bande jusqu'en $2'-3'$. Une fois qu'il aura rencontré le F de départ on constatera qu'ils ne peuvent plus se superposer.

Le plan projectif a cette propriété en tous points, il est non-orientable³.