Estructura lacaniana de lo subjetivo como consecuencia de la relación de significación

por Tomasz Gil © 2012

Abstracto

La premisa lacaniana de que el sujeto humano es un sistema de significantes unidos por una relación de significación es tratada con rigor matemático y permite definir subconjuntos de significantes que pueden denominarse Inconscientes e Imaginados.. Las propiedades de esos subconjuntos dan lugar a una cierta estructura de lo subjetivo que se parece mucho a las ideas lacanianas.. En particular, se puede identificar un conjunto que funciona de manera muy parecida a un Real Lacaniano.. Definimos un conjunto excluido y demostramos que sólo puede ser un subconjunto del Real. También ciertas restricciones sobre cómo elementos de lo Real, Lo inconsciente y lo imaginado pueden relacionarse mutuamente y corresponden a ideas psicoanalíticas clave.

Introducción

En opinión de Lacan, el sujeto humano se constituye como consecuencia de ser introducido en el mundo de los significantes que lo alejan de una simple realidad de vivir.. El sujeto invierte sus energías en proteger una imagen de sí mismo. – el ego – y en desarrollar una personalidad definida por las reglas del mundo. – el tema prohibido $. Estas son las regiones que Lacan denominó Simbólica e Imaginaria y su funcionamiento es la principal característica del sujeto lacaniano.. Además de éstos, Lacan también identifica un tercer ámbito. – lo real – que corresponde a la realidad central de vivir. lo real es lo “Cosa” que esté siempre en un solo lugar y, aunque aparentemente pasivo, es el centro motivador para las actividades en los otros reinos – ostensiblemente como el lugar del objeto perdido del goce primordial.

En este artículo considero al sujeto simplemente como un sistema de significantes y significados unidos por una relación de significación.. Estudio las estructuras matemáticas que se pueden identificar en un sistema como resultado de la relación de significación.. En resumen tomo la afirmación lacaniana – “El sujeto no es más que el resultado del sistema de significantes.” – al valor nominal, buscar resultados matemáticos que sean rigurosamente accesibles e interpretarlos en términos lacanianos. Las matemáticas son un sistema de formalización de intuiciones que pueden ser asumidas por el intelecto y a las que se les puede conceder plena pertenencia al dominio de la razón.. Las matemáticas de este desarrollo son rigurosas, mientras que su interpretación es tentativa y hasta cierto punto especulativa, ya que no están involucrados datos ni conocimientos clínicos..

Las matemáticas de este artículo no son la teoría de conjuntos axiomática que ciertos filósofos tomarían como base para la ontología.. No estamos estudiando ontología sino teoría de la información similar a la teoría de las bases de datos relacionales.. El concepto matemático central es el de relación que es una cierta generalización del concepto de función.

El espacio subjetivo y la relación de significación

Sea Ω un conjunto de elementos, también llamados artículos, constituyendo un espacio. Provisionalmente consideraremos este espacio como el espacio de lo subjetivo.. Los significantes y los significados son todos elementos equivalentes de Ω..

Consideremos una relación binaria Σ en el conjunto Ω, es decir, un subconjunto del producto cartesiano del espacio sobre sí mismo.. En otras palabras, esta es una selección de pares ordenados. (x,y) donde x e y son elementos de Ω

(1) Σ ⊂ Ω x Ω

Es decir que ciertos pares (x,y) pertenecen a Σ.

(2) (x,y) ∈S

donde x ∈ Ω y y ∈ Ω

También diremos que x e y están en relación Σ y escribiremos simplemente

(3) x → y

Esta será la notación preferida para la relación Σ. Cuando en la relación el par x → y puede verse como significante y significado con estos términos designando roles en la relación en lugar de características de x e y tomados por separado. También tenga en cuenta que una x dada puede estar en relación con más de una y y viceversa..

La relación Σ es representar las significaciones vigentes en el espacio del sujeto.. La relación Σ se toma en un instante en el tiempo cuando consideramos un punto temporalmente fijo en la historia del sujeto e intentamos estudiar la estructura del sujeto..

El significado de la relación de significación es la relación significante-significado donde x es el significante e y el significado.. La relación Σ simplemente enumera qué elementos x denotan qué elementos y. para ser claro, el término significante y significado denota simplemente el papel de un elemento x ∈ Ω o y ∈ Ω en un par dado (x,y) y no es su caracteristica. Una terminología más descriptiva sería nombre y imagen y lo usaremos para acercarnos a las intuiciones que queremos formalizar. El objetivo de este artículo es estudiar las estructuras que se pueden discernir en Ω inducidas por la relación Σ.

Conjuntos inconscientes e imaginados.

Llamemos a cualquier conjunto U ⊂ Ω que tenga la propiedad

(4) ∀ x ∈ U no ∃ y ∉ U y → x

conjunto inconsciente. Este conjunto tiene la propiedad de no tener ningún elemento externo a él que apunte a ninguno de sus elementos..

Además, llamemos a cualquier conjunto I ⊂ Ω que tenga la propiedad

(5) ∀ x ∈ yo no ∃ y ∉ yo x → y

conjunto imaginado. Este conjunto tiene la propiedad de no tener ningún elemento externo a él señalado por ninguno de sus elementos..

Es fácil demostrar que una unión de dos o cualquier número de conjuntos inconscientes es también un conjunto inconsciente.. Asimismo, la unión de cualquier número de conjuntos imaginados es también un conjunto imaginado.. Esto será aún más fácil de ver después de que introduzcamos nuevas definiciones..

El conjunto global Ω es a la vez inconsciente e imaginado.. Incluir Ω en las uniones antes mencionadas conduce a una trivialidad poco interesante que borra toda estructura. O tal vez describe la subjetividad animal..

Tomemos el subconjunto A de Ω — A ⊂ Ω. Entonces definimos:

(6) M(Una) ⊂Ω: {x ∈ Ω: calle. ∃ y ∈ A y → x}

y llamarlo los significados de A, (calle. = “tal que”). Establecer M(Una) comprenderá todos los objetivos de significaciones de elementos de A. los llamamos imágenes de A. Más, nosotros definimos:

(7) N(Una) ⊂Ω: {x ∈ Ω: calle. ∃ y ∈ A x → y}

y llamarlo los significantes de A. Establecer N(Una) comprenderá todos los orígenes de significados de los elementos de A.. Los llamamos de forma bastante intuitiva. nombres de A.

Para un conjunto de elementos individuales A = {x}, que consta únicamente del elemento x, podemos escribir:

(6un) M({x}) = {y ∈ Ω: x → y}

(6un) N({x}) = {y ∈ Ω: y → x}

Lo anterior dice que M son todos aquellos elementos señalados por x, mientras que N son los que apuntan a x.

Con la ayuda de las definiciones de las funciones M y N en el espacio de los subconjuntos A de Ω podemos producir estas caracterizaciones de conjuntos imaginados e inconscientes.. A saber, para cualquier conjunto inconsciente U:

(8) N(Usted) ⊂ tu

y para cualquier conjunto imaginado yo:

(9) M(Yo) ⊂ yo

Es fácil demostrar que, de hecho, es así junto con lo inverso, es decir,:

(10) N(Una) ⊂ A ⇔ A está inconsciente

(11) M(Una) ⊂ A ⇔ A es imaginado

Figura A. Conjunto A y sus imágenes M y nombres N. Para un conjunto arbitrario A no hay restricción sobre cómo podría superponerse con sus imágenes y nombres.. Las flechas muestran ejemplos de elementos que realizan la significación y las asignaciones de conjuntos N y M.. Si el conjunto A está inconsciente entonces N(Una) estaría completamente contenido en A. Si se imagina A entonces M(Una) estaría completamente encerrado en A.

Todo el inconsciente y todo lo imaginado.

Dado que la unión de cualquier número de conjuntos inconscientes es un conjunto inconsciente, podemos construir la unión de todos esos conjuntos. (excepto Ω mismo). Esto se llamará todo el inconsciente. – Y₀. escribamos:

(12) Y₀ = ∪U

donde eres todo correcto (es decir. U ≠ Ω) conjuntos inconscientes. Lo mismo ocurre con todo el conjunto imaginado. – I₀:

(13) I₀ = ∪ yo

donde I denota todos los conjuntos imaginados adecuados. Por supuesto, los casos interesantes se producirán cuando todo el inconsciente y todo lo imaginado no llenen todo el espacio., es decir.: Y₀ ≠ Ω y yo₀ ≠ Oh. La parte de Ω fuera de todo el subespacio inconsciente e imaginado es la parte consciente que es una característica de la psique humana.. En psicoanálisis nos interesa lo inconsciente y lo imaginado, mientras que la parte más disponible de la psique es, por supuesto, la parte consciente.. Esto no debería inducir a error a nadie a suponer que la conciencia es el principal objeto de interés.. De hecho, no hemos definido el espacio consciente y no tendremos necesidad de hacerlo.. Observemos que el espacio inconsciente e imaginado se ha definido exigiéndoles que obedezcan a determinadas condiciones.. Cualquier cosa fuera de esos espacios combinados no satisfará estas condiciones, lo que indicará que estos elementos son más accesibles a la observación y la investigación., que suele seguir una cadena de significantes, – también conocidos como elementos conscientes.

Figura B. Y₀ y yo₀ intersectando con R. Las flechas nuevamente indican posibles significados.. Observe cómo observan las restricciones impuestas por las definiciones de estos conjuntos.: ninguna flecha apunta al inconsciente desde su exterior, Ninguna flecha apunta hacia el exterior imaginado..

Ecuaciones (10) y (11) obviamente válido para todo el inconsciente Υ₀ y todo lo imaginado Ι₀, respectivamente. Sin embargo, Nos gustaría considerar conjuntos definidos por los mapeos M y N que actúan sobre estos conjuntos..

(14) pag = norte(I₀)

(15) S = M(Y₀)

Me gustaría llamar al conjunto P el conjunto poético y al conjunto S el conjunto simbólico.. En lenguaje sencillo, el conjunto P se compone de todos los nombres de elementos imaginados, mientras que S se compone de todas las imágenes de signos/nombres inconscientes.. The elements of P are x s.t. x → y, where y ∈ Ι₀ – which means is something that points directly to an imagined item. An element in S is x s.t. y → x where y ∈ Υ₀. P and S are spaces near the edge of the imagined and unconscious, respectivamente. Regions of P and S may be outside of the unconscious and imagined and thus more empirically accessible. When they are the P elements are those symbols that point to the subject’s imagined material and S elements are effects of the unconscious speaking to the subject.

Subtractions – unnameable and unimaginable

Removing the P elements from the imagined set leaves there only the elements that do not point to any further images. Likewise, removing set S from the unconscious set leaves only the elements that are not pointed to by anything. I call those remnant sets unnamable and unimaginable.

(16) I₀ − P – unnameable

(17) Y₀ − S – unimaginable

The unnameable is the locus of Lacanian fundamental fantasy, whereas the unimaginable is the locus of the phallus, the master signifier.

(16un) φ ∈ (I₀ − P)

(17un) Φ ∈ (Y₀ − S)

It is possible that the phallus Φ points to the fundamental fantasy φ:

(18) Φ → φ

The preceding definitions and discussion of the poetic and symbolic is highly speculative and attractive only because of our interest in placing these concepts within the framework. Likewise the position of the phallus and the fundamental fantasy is a speculative leap upon which further reflection is called for to be followed almost surely by a reformulation. These attractive definitions are intended to mark the point where further development is desired.

Some formal development

Let us present
Lemma 1: For any A ⊂ B; Una, B ⊂ Ω it holds that

N(Una) ⊂ N(B), M(Una) ⊂ M(B)

It states that for A being a subset of B all images of A are also a subset of images of B. Likewise names of A are a subset of names of B. The proof is elementary.

This leads immediately to the next
Lemma 2: For any A, B ⊂ Ω it holds that

N(A∩B) ⊂ N(Una) ∩ N(B)

M(A∩B) ⊂ M(Una) ∩ M(B)

This says that images (M) of an intersection of two sets are contained in the intersection of images of each of the sets. Same holds for names (N).

Let us consider the intersection of the whole unconscious with the whole imagined and denote it by R.

R = Ι₀ ∩ Υ₀

It is a candidate for the Lacanian Real.

By virtue of Lemma 2 we can write for the names of R:

N(R) ⊂ N(Y₀) ∩ N(I₀)

⊂ Υ₀ ∩ N(I₀)

⊂ Υ₀

where the second inclusion is justified by (8) characterizing any unconscious set. The last line is justified by the fact that a subset of an intersection of two sets is also a subset of each of the sets. Same goes for the images of R:

M(R) ⊂ M(Y₀) ∩ M(I₀)

⊂ M(Y₀) ∩ Ι₀

⊂ Ι₀

where we used Eq. (9). We have just shown
Theorem 1:

N(R) ⊂ Υ₀

M(R) ⊂ Ι₀

In plain language we would say that all the images of R are imagined and all the names of R are unconscious.

Foreclosed

Let us consider a set F ⊂ Ω s.t. N(F) ⊂ F and M(F) ⊂ F. This says that all the images of F and of the names of F are contained within F. This means that F is both unconscious and imagined satisfying both (8) y (9). Then it follows that F must be a subset of both the whole unconscious and whole imagined.

F ⊂ Υ₀ ∧ F ⊂ Ι₀

F ⊂ Υ₀ ∩ Ι₀

F ⊂ R

We will call a set which is both imagined and unconscious a foreclosed set. A foreclosed set consists of elements that are not accessible from the outside and do not access anything outside of the set by following the signification relation. In the above we have demonstrated
Theorem 2: A foreclosed set is a subset of R – lo real.
O,

F ⊂ Ω : N(F) ⊂ F ∧ M(F) ⊂ F ⇒ F ⊂ R

Conscious

Let us turn to the space outside of the whole unconscious and the whole imagined. This is the domain of the conscious. Let us consider a set C in the conscious C ⊄ Υ₀ ∪ Ι₀. Let us take x ∈ C and y ∈ R. If x → y and y ∈ R ⊂ Υ₀ we would violate the condition that nothing can point into an element of the unconscious from the outside of it. Likewise if y → x, then seeing that y ∈ R ⊂ Ι₀ we would violate the condition that the imaged cannot point outside of itself. Thus we have shown
Theorem 3: For any C ⊄ Υ₀ ∪ Ι₀ (conscious set)

M(C) ∩ R = ∅

N(C) ∩ R = ∅

This is to say that images and names of any conscious elements are never in the Real.

Discussion

Figure C.Demonstration of possibilities for elements of Ω. See text for discussion.

Figure C produces a number of examples of signifiers/signifieds residing in various regions of Ω identified by the configuration of the whole Unconscious Υ₀ and whole Imagined Ι₀ and being in signification relation Σ. u3 → u4 are elements in the Unconscious. Similarly, i4 → i3 are in the Imagined. c1 points into the Imagined i2 from the Conscious space, whereas u1 in the Unconscious has a Conscious image in c2. This is all quite well expected.

The dashed lines illustrate situations that are not permitted to occur. Firstly, no elements of the Real can be images or names of any elements of the Conscious. This is the consequence of Theorem 3. Secondly, elements of the Real cannot have images in the non-Imagined Unconscious and elements of the Real cannot have names in the non-Unconscious Imagined. This is a consequence of the definition of the Imagined and Unconscious given in (10-11).
In psychoanalytic terms one might say that we have identified and rigorously characterized a privileged region of the subjective.

How are then elements of the Real reachable? They can be reached as images of the Unconscious (u2 → r3) or they can be names of the Imagined (r2 → i2). Also two elements of the Real can be in relation. The example in the figure is the pair r4 → r5. This pair may be a part of a foreclosed set. The figure suggests that if we supposed that it lists all the pairs that constitute the given signification relation Σ. Sin embargo, if that were the case the pairs u3 → u4 as well as i4 → i3 – ought to be placed in the Real as they would be both isolated as unconscious and imagined.

Finalmente, in the strict Unconscious I speculatively placed the signifier of the Phallus Φ. It is meant to be actually in the unimaginable portion of the Unconscious – Y₀ – M(Y₀). This idea corresponds to the Lacanian view that the phallus is the master signifier which is not available to the subject. Likewise I decided the place the fundamental fantasy φ in the strict Imagined postulating above in the text that it is part of the unnamable Ι₀ – N(I₀). The Phallus signifier pointing to the fundamental fantasy is just a possibility.

Conclusion

Following the premise of the subject as being constituted by a system of signifiers I was able to show, with the aid of additional definitions, the possibility of existence of the unconscious and imagined as specific regions of the psyche. This in turn allowed me to propose a definition of set R, that may correspond to the Lacanian Real. The conscious part of the psyche is merely a leftover region that belongs to neither the unconscious not imagined. In a way the structure resembles Lacanian Schema L where the unconscious and imaginary operations intersect to produce a barred subject confronting the object of desire.

Among other constructs that seem particularly productive is the one of the foreclosed set. Also, the concepts of names and images of set A – N(Una) and M(Una) – respectivamente, seems well aimed and able to facilite further intuitions. Nevertheless, Lacanian concepts of ego, object of desire, jouissance and subject barred are not clearly visible on the horizon, but I hope the future insights will reveal them in this or derived framework. Further work will also be needed to uncover the locus of the Lacanian Symbolic, Imaginary and Real. It would be also very productive to see how a diachronic view of evolution of the system of signifiers through time can be studied showing the processes of speech, expression and approach to the object of desire.

Abril 10, 2012