Lorsqu'un pilote d'avion veut aller d'un endroit de la terre à un autre, il doit établir un itinéraire. S'il n'a pas besoin de faire d'escale, il va choisir le chemin le plus court car il consommera moins de carburant. S'il prend une carte aérienne ordinaire2, et qu'il trace une droite, et bien il ne choisira pas la route la plus courte.
En général une droite sur une carte ne suit pas le chemin le plus court. Le chemin le plus court est ce qui s'appelle une géodésique ou grand cercle.
Il est plus simple pour lui de disposer d'une projection dans laquelle une géodésique est une droite. Cette projection existe, elle s'appelle projection azimuthale gnomonique. Derrière ce nom se cache tout simplement la figure qu'on obtient en projetant une sphère sur un plan en prenant comme centre de projection le centre de la sphère. Dans cette projection chaque droite suit un grand cercle. Chaque droite est une droite projective.
Pour rendre sensible cette réalité, imaginez-vous installé au centre d'une sphère transparente, sur laquelle est dessiné de nombreux grands cercles (des méridiens entre autres). Tous ces cercles sont centrés sur le centre de la sphère, si je suis sur ce centre le les verrai comme des droites. Ils se projetteront comme tels sur un plan.
Je n'en dirai pas plus sur ce point, observez la figure 8. Pour ce qui nous intéresse, il suffit de se rappeler que ces cartes sont des portions de plan projectif.
