Plan projectif dégradé en anneau de Möbius

Comme on vient de le voir, la représentation du plan projectif dans l'espace 3D est largement non triviale. Ceci limite les usages graphiques qu'on peut en faire.

Y a-t-il une dégradation acceptable de la surface qui permettent de la manipuler dans l'espace 3D? Une réponse est fournie par l'anneau de Möbius.

En effet si je découpe un disque dans le plan projectif je crée deux structures, le disque que je viens de découper et une surface encore unilatère pourvue d'un bord.

Une surface unilatère à un seul bord est, par définition un anneau de Möbius⁶.

Ainsi, tant qu'on ne se préoccupe pas du bord de l'anneau de Möbius, il est identique de raisonner sur un plan projectif et sur un anneau de Möbius. Celui-ci est plongeable dans l'espace $\mathcal{R}^3$. On peut le projeter facilement sur $\mathcal{R}^2$ en respectant les effets de ``dessus-dessous''. La figure ici montre un tel anneau.

Figure: Anneau de Möbius

Le choix de travailler avec cet anneau en lieu et place du plan projectif est explicite chez Lacan notamment dans le séminaire sur l'Identification⁷ [Lac62, 16 mai p 229]:

Une surface de Möbius est l'illustration la plus simple du cross-cap.