Les usages lacaniens du plan projectif

Les usages que fait Lacan du plan projectif sont très nombreux et variés, je ne pourrai donc dans ce cadre que survoler quelques cas. Posons d'abord quelques termes et définitions que donne Lacan de parties du plan projectif.

Figure: cross-cap complété

Le trou courant d'air

correspond au trou central du tore; ce ``trou'' qui est tout à l'extérieur. [Lac62, 23 mai p 238]

L'objet $a$

se tient dans le trou courant d'air, cerné par une coupure. [Lac62, 23 mai p 238]

La place du trou

c'est le nom que Lacan donne au plan projectif. [Lac62, 23 mai p 239]

Le phallus

se tient dans la singularité ponctuelle de la figure ici ou dans la base de la singularité linéaire de la figure ici. On le retrouve en $P$ sur la figure ici. Ce point cristallise la rencontre de tous les points antipodaux du plan projectif.

Le phallus est à prendre comme la fonction $\Phi$ qui permet à l'objet $a$ d'aller occuper la place au centre du tore, $\Phi (a)$. [Lac62, 23 mai p 239]

La chaîne signifiante

est à la fois la ligne temporelle de l'assemblage diachronique des signifiants, et la ligne de coupure qui change la structure du plan projectif pour en faire une surface bilatère -- ou orientable [Lac62, 30 mai p 245]. C'est la fameuse ligne sans points de Lacan.

Pour la surface dégradée que constitue l'anneau de Möbius, c'est la ligne de coupure longitudinale pratiquée sur la figure ici. Celle-ci permet de reconstituer par couture une bande (resp. un plan projectif) bilatère. Cette ligne est une droite projective.

Le fantasme

je le comprends, en tant que $\not\!S$ coupure de $a$ , comme la coupure engendrée autour de la singularité centrale, ce que Lacan note . le $\Diamond$ correspond ici à la coupure.

Usage du Huit intérieur

est toujours à comprendre comme possédant au centre de cette singularité.

Figure: Anneau de Möbius coupé/suturé

Pour ce qui est des usages, il me paraît utile de partir de la transformation que Lacan fait subir à un huit intérieur inscrit sur un plan projectif [Lac62, 6 juin, pp 264-267]. La succession des glissements du bord du huit intérieur visible sur la figure ici montre l'identité de structure entre ce huit et un anneau de Möbius. De plus, cette coupure induite par l'anneau produit deux objets, un disque (bilatère donc) et un anneau de Möbius (unilatère).

Figure: Glissement du huit intérieur

Il me faut aussi indiquer dès à présent ce à quoi je veux parvenir. Je veux arriver à trois des schémas fondamentaux des Écrits. Il s'agit du schéma R [Lac66, p 553], qu'on trouvera reproduit figure ici, du schéma L [Lac66, p 53], reproduit figure ici et du schéma I [Lac66, p 571], reproduit figure ici⁸.

Figure: Le Schéma R

Figure: Le Schéma L

Figure: Le Schéma I

Pour ce qui va suivre, il faut bien garder en mémoire qu'il suffit de parvenir à un anneau de Möbius pour satisfaire aux conditions du plan projectif. Étant donné qu'un anneau de Möbius est un plan projectif percé, il suffit chaque fois que cela est nécessaire de ``boucher'' ce trou par une pastille pour retrouver le plan projectif de départ.⁹